यदि f(x) = begin{cases} x, & text{जब } x text | vedclass

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Question

(A) माना $h(x) = (f - g)(x)$.जब $x \in \mathbb{Q}$ है,तब $h(x) = f(x) - g(x) = x - 0 = x$.जब $x 
otin \mathbb{Q}$ है,तब $h(x) = f(x) - g(x) = 0 - x =

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एकैकी आच्छादक

Vedclass · Answer

(A) माना $h(x) = (f - g)(x)$.जब $x \in \mathbb{Q}$ है,तब $h(x) = f(x) - g(x) = x - 0 = x$.जब $x 
otin \mathbb{Q}$ है,तब $h(x) = f(x) - g(x) = 0 - x = -x$.अतः,$h(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \ -x, & x 
otin \mathbb{Q} \end{cases}$.यह जाँचने के लिए कि क्या $h(x)$ एकैकी है: माना $h(x_1) = h(x_2)$। यदि $x_1, x_2 \in \mathbb{Q}$ है,तो $x_1 = x_2$। यदि $x_1, x_2 
otin \mathbb{Q}$ है,तो $-x_1 = -x_2 \implies x_1 = x_2$। अतः,$h(x)$ एक एकैकी फलन है।यह जाँचने के लिए कि क्या $h(x)$ आच्छादक है: किसी भी $y \in \mathbb{R}$ के लिए,यदि $y \in \mathbb{Q}$ है,तो $h(y) = y$। यदि $y 
otin \mathbb{Q}$ है,तो $h(-y) = -(-y) = y$। अतः,प्रत्येक $y \in \mathbb{R}$ के लिए,एक ऐसा $x$ मौजूद है कि $h(x) = y$। इसलिए,यह एक आच्छादक फलन है।

$A$. $f: R \rightarrow R$, $f(x) = \cos(112x - 37)$ द्वारा परिभाषित	$I$. एकैकी (Injection) लेकिन आच्छादक (Surjection) नहीं
$B$. $f: A \rightarrow B$, $f(x) = x\|x\|$ द्वारा परिभाषित, जहाँ $A = [-2, 2]$ और $B = [-4, 4]$	$II$. आच्छादक लेकिन एकैकी नहीं
$C$. $f: R \rightarrow R$, $f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$ द्वारा परिभाषित	$III$. एकैकी और आच्छादक (Bijection)
$D$. $f: N \rightarrow N$, $f(n) = n+1$ द्वारा परिभाषित	$IV$. न तो एकैकी और न ही आच्छादक
	$V$. संयुक्त फलन

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